Les equacions de Maxwell són un conjunt de quatre equacions diferencials parcials que descriuen les relacions entre els camps elèctrics i magnètics, la càrrega elèctrica i el corrent elèctric. Aquestes equacions han estat fonamentals per a la física moderna i la tecnologia. Aquí les tenim en forma integral i diferencial, amb una explicació bàsica:

1. Llei de Gauss per a l'Electricitat (Camp Elèctric):

Forma Integral:

$${\oint }_{�}\mathbf{�}\cdot �\mathbf{�}=\frac{{�}_{���}}{{�}_0}$$

Forma Diferencial:

$$\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{�}=\frac{�}{{�}_0}$$

• Explicació: Aquesta equació estableix que el flux del camp elèctric

  $\mathbf{�}$

  a través d'una superfície tancada

  $�$

  és proporcional a la càrrega elèctrica

  ${�}_{���}$

  dins d'aquesta superfície, amb

  ${�}_0$

  sent la permitivitat del buit. En termes diferencials, la divergència del camp elèctric és igual a la densitat de càrrega

  $�$

  dividida per

  ${�}_0$

  .

2. Llei de Gauss per al Magnetisme (Camp Magnètic):

Forma Integral:

$${\oint }_{�}\mathbf{�}\cdot �\mathbf{�}=0$$

Forma Diferencial:

$$\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{�}=0$$

• Explicació: Indica que no existeixen monopols magnètics; el flux del camp magnètic

  $\mathbf{�}$

  a través d'una superfície tancada és sempre zero, o en termes diferencials, la divergència del camp magnètic és zero.

3. Llei de Faraday de l'Inducció Electromagnètica:

Forma Integral:

$${\oint }_{\mathrm{\partial }�}\mathbf{�}\cdot �\mathbf{�}=-\frac{�}{��}({\int }_{�}\mathbf{�}\cdot �\mathbf{�})$$

Forma Diferencial:

$$\mathrm{\nabla }\times \mathbf{�}=-\frac{\mathrm{\partial }\mathbf{�}}{\mathrm{\partial }�}$$

• Explicació: Describeix com un camp magnètic variable en el temps genera un camp elèctric que pot induir una força electromotriu (fem) en un circuit. La derivada temporal del flux magnètic a través d'una superfície

  $�$

  induirà un camp elèctric al voltant del contorn

  $\mathrm{\partial }�$

  d'aquesta superfície.

4. Llei d'Ampère-Maxwell:

Forma Integral:

$${\oint }_{\mathrm{\partial }�}\mathbf{�}\cdot �\mathbf{�}={�}_0({�}_{����}+{�}_0\frac{�}{��}{\int }_{�}\mathbf{�}\cdot �\mathbf{�})$$

Forma Diferencial:

$$\mathrm{\nabla }\times \mathbf{�}={�}_0\mathbf{�}+{�}_0{�}_0\frac{\mathrm{\partial }\mathbf{�}}{\mathrm{\partial }�}$$

• Explicació: Relaciona el camp magnètic amb els corrents elèctrics i els canvis en el camp elèctric. La part

  ${�}_0{�}_{����}$

  representa l'efecte de la corrente conductora, mentre que

  ${�}_0{�}_0\frac{�}{��}{\int }_{�}\mathbf{�}\cdot �\mathbf{�}$

  (corrent de desplaçament de Maxwell) explica com un camp elèctric variable en el temps pot generar un camp magnètic.

Aquí,

$\mathbf{�}$

és la densitat de corrent elèctric,

${�}_0$

és la permeabilitat del buit, i

${�}_0$

és la permitivitat del buit.

Notacions:

• $\mathbf{�}$

  és el camp elèctric.
• $\mathbf{�}$

  és el camp magnètic.
• $�$

  és la densitat de càrrega elèctrica.
• $\mathbf{�}$

  és la densitat de corrent elèctric.
• $\mathrm{\nabla }$

  representa l'operador nabla, que s'utilitza per obtenir gradients, divergències i rotacions.

Les equacions de Maxwell són claus per entendre i predir comportaments en electrònica, òptica, telecomunicacions, i molts altres camps de la física aplicada.